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三门换门概率问题
冬寂 2023-02-16 10:08:38 【PHP】 1324人已围观
三门换门问题,又称为蒙提霍尔问题(Monty Hall Problem),是一个经典的概率问题。
问题的设定如下:
你参加一个游戏节目,有三扇关闭的门,其中一扇门后面有一辆汽车,另外两扇门后面是山羊。主持人知道每扇门后面是什么,他会先让你选一扇门,但不会立刻打开它,而是会打开另外两扇门中的一扇,露出其中一只山羊。然后,他问你要不要换另外一扇门。
问题的关键在于:你是否应该换另外一扇门?
解答这个问题的关键在于理解主持人的操作。主持人知道每扇门后面是什么,所以他在打开另外两扇门的时候,一定会选择一扇后面是山羊的门。这样做的目的是让你在换门的时候,选中的概率变小,从而增加中奖的概率。
具体来说,假设你一开始选中的门是A,而主持人打开的门是B(后面是山羊)。如果你不换门,那么你中奖的概率就是1/3,因为汽车和山羊各在三扇门后面,而你的选择只有一种可能。但如果你换门,那么中奖的概率就变成2/3,因为此时只有两扇门,而另一扇门后面是汽车的概率是2/3。
这个结论可能有些出乎意料,因为很多人会认为换门和不换门的中奖概率应该是相等的。
思路1:
每个门相同权重,每个门的概率都是1/3
随机选一个,选到车的概率是1/3
剩余两个门的综合概率是1/3+1/3=2/3
主持人(外力干扰)将没有被选中的两个门其中一个的概率变成0/3
那么没有被主持人排除的门将继承2/3的概率
所以换门选到车的概率是2/3,是最优选
思路2:
例举每种选择
思路3:
PHP代码模拟,我们进行10000次实验,分别记录换门与不换门的次数,计算概率.
第一次输出:
不换门的中奖概率:0.3381
换门的中奖概率:0.6619
第二次输出:
不换门的中奖概率:0.3229
换门的中奖概率:0.6771
第三次输出:
不换门的中奖概率:0.3229
换门的中奖概率:0.6771