三门换门概率问题

三门换门问题，又称为蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem），是一个经典的概率问题。

问题的设定如下：

你参加一个游戏节目，有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是山羊。主持人知道每扇门后面是什么，他会先让你选一扇门，但不会立刻打开它，而是会打开另外两扇门中的一扇，露出其中一只山羊。然后，他问你要不要换另外一扇门。

问题的关键在于：你是否应该换另外一扇门？

解答这个问题的关键在于理解主持人的操作。主持人知道每扇门后面是什么，所以他在打开另外两扇门的时候，一定会选择一扇后面是山羊的门。这样做的目的是让你在换门的时候，选中的概率变小，从而增加中奖的概率。

具体来说，假设你一开始选中的门是A，而主持人打开的门是B（后面是山羊）。如果你不换门，那么你中奖的概率就是1/3，因为汽车和山羊各在三扇门后面，而你的选择只有一种可能。但如果你换门，那么中奖的概率就变成2/3，因为此时只有两扇门，而另一扇门后面是汽车的概率是2/3。

这个结论可能有些出乎意料，因为很多人会认为换门和不换门的中奖概率应该是相等的。

思路1：

• 每个门相同权重，每个门的概率都是1/3

• 随机选一个，选到车的概率是1/3

• 剩余两个门的综合概率是1/3+1/3=2/3

• 主持人（外力干扰）将没有被选中的两个门其中一个的概率变成0/3

• 那么没有被主持人排除的门将继承2/3的概率

• 所以换门选到车的概率是2/3，是最优选

思路2：

例举每种选择

思路3：

PHP代码模拟，我们进行10000次实验，分别记录换门与不换门的次数，计算概率.

第一次输出：
不换门的中奖概率：0.3381
换门的中奖概率：0.6619

第二次输出：

不换门的中奖概率：0.3229
换门的中奖概率：0.6771

第三次输出：
不换门的中奖概率：0.3229
换门的中奖概率：0.6771